Факультатив по математике, 4 класс. Решение задач

Внеурочное занятие по математике для учащихся 4 класса. Тема: «В худшем случае»

Цель: научить решать задачи, в которых приходится учитывать самый неблагоприятный случай, при этом логически обосновывая решение.

Ход занятия

Учитель. Довольно часто в задачах, где требуется доказать какое-либо утверждение, нужно рассмотреть самый неудобный, худший случай, в котором утверждение кажется наиболее «подозрительным». Если мы докажем утверждение в этом худшем случае, то тем более оно будет верно и в остальных случаях. Поэтому главное, что здесь нужно, - правильно определить этот худший случай. Рассмотрим решение нескольких подобных задач.

I. Решение задач.

Задача. В непрозрачном мешке лежат 5 белых и 2 черных шара.

а) Какое наименьшее число шаров надо вытащить из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар?

Решение.

Какой случай здесь самый худший? Очевидно, тот, когда мы будем все время вытаскивать только черные шары. В этом случае, даже вытащив 2 шара, мы не вытащим белого шара. Но если мы вытащим 3 шара, то тогда уж точно из трех шаров по крайней мере один шар будет белым.

б) Какое наименьшее число шаров надо вытащить из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один черный шар? Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый и хотя бы один черный?

Решение.

Худшим здесь будет случай, когда мы будем вытаскивать одни только белые шары, и только потом попадется черный шар. Потребуется вытащить 5 + 1=6 шаров. Случай, когда попадаются одни черные шары, «лучше», поскольку уже третий шар окажется белым. Выбор «худшего» случая зависит от того, каких шаров больше - белых или черных.

в) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались 2 шара одного цвета?

Решение.

Худший случай - когда сначала идут шары разных цветов. Это возможно, если мы вытащим 2 шара. А если мы вытащим третий, то уже будем иметь 2 шара одного цвета.

II. Самостоятельная работа.

Задача 1. В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода, чтобы среди них оказалась одна пара носков одного цвета?

Ответ: 3 носка.

Задача 2. В коробке лежат 100 шаров трех цветов - синего, зеленого, белого. Сколько шаров надо вынуть из коробки не глядя, чтобы среди них оказалось 30 шаров одного цвета?

Ответ: 88 шаров.

Задача 3. В коробке, которая стоит в темной комнате, лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных перчаток одного размера. Сколько перчаток надо взять из коробки, чтобы среди них оказалась пара перчаток одного цвета?

Решение.

В худшем случае можно сначала вытащить 10 перчаток одного цвета на одну руку, а потом 10 перчаток другого цвета тоже на одну руку - из них нельзя составить пару. Лишь вытащив 21 перчатку, можно составить требуемую пару.

Задача 4. Есть 3 ключа от трех дверей с разными замками. Достаточно ли 3 проб, чтобы подобрать ключи к дверям?

Ответ: да.

Задача 5. Имеются 5 ключей от 5 комнат с разными замками. Сколько потребуется проб в худшем случае, чтобы подобрать ключи к комнатам? (4 + 3 + 2 + 1 = 10 проб).

Задача 6. Иван-царевич добыл ключи от нескольких комнат подземелья, но не знал, какой ключ от какой комнаты. Сколько комнат в подземелье, если в худшем случае ему достаточно 21 пробы, чтобы выяснить, какой ключ от какой комнаты?

Решение.

Если бы было 5 комнат, то потребовалось бы 10 проб, если 6 комнат, то 5 проб - для первой двери + 10 проб на оставшиеся комнаты, то есть 15 проб. Если бы комнат было 7, то для первой двери - 6 проб + 15 проб на оставшиеся комнаты, то есть 6+15 = = 21 проба. Итак, в подземелье было 7 комнат.

Похожие статьи:

Факультатив по математике, 4 класс. Геометрия на клетчатой бумаге

Факультатив по математике, 4 класс. Решение задач и уравнений с делением на двузначное число